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2016国考备考 你到 “极限”了吗

2015-11-18 14:16:34|
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在数学理念中,通常我们所认为的极限是数字无穷大或者是无穷小,但在行测理科部分,所涉及的极限一般是数与数之间无限接近的意思。最为接近的时候是两数相等或平均的时候。那么,用极限的思想解决数量关系的问题,包括有哪些方面呢?有哪些题型?如何判断是否到极限?……

极限包括均值不等式、二次函数求极值、和定最值、抽屉问题和最不利原则这几个方面,均值不等式可推出和定,差小积大,以及积定,差小和小;二次函数的求极值是可以化成与均值不等式相关的。如果问题中出现问更大/小,至多/少之类的,那么大多时候我们会考虑采用极值的方法。现在,中公教育河南人事考试网专家就均值不等式、和定最值、最不利原则来讨论一下。

1、均值不等式

均值不等式我们以前有学过,是a+b≥2√ab。从这个公式可以推出,当a+b为一个定值,当a=b时,a*b得到更大值;而反过来,如果a*b是一个定值,当a=b时,a+b得到最小值。比如:

(1)a+b=10,a、b都是正整数,则a*b的更大值是多少?

解:很明显这是符合和定差小积大的规律的,只要另a=b=5即可,所以a*b=25。

(2)要用长为100m的篱笆围成一个四边形作为养鸡场,问这个养鸡场面积更大是多少?

解:100m的篱笆围四边形,要使面积更大,根据和定,差小积大原理,更好是围成正方形,那周长是100m,所以每边是25m,则面积更大是252=625m2。

因为二次函数求极值是可以化成和定,差小积大,或者是积定,差小和小。

y=ax2±bx+c,将式子写成ymin/max=(A-x)(B+x),把(A-x)看出是均值不等式中的a,(B+x)看成是b,即可计算出ymin/max,或者求出x。

2、和定最值

这里的和定和上面均值不等式的和定是一样的,都是几个数的和一定,但和定最值里要求的最值,就不是几个数的积的最值了,而是参与和定计算中的某一数据所能达到的更大值或者最小值。一般情况下,当几个数的和一定时,求其中某个数的更大,那么其他数就尽可能的小;求其中某个数的最小,则其他几个数就尽可能的大。比如:

a+b+c=10,a、b、c都是正整数,且a>b>c,问(1)a所能达到的更大值/最小值是多少?

(2)a所能达到的最小值是多少?

解:(1)求a的更大值,另b和c尽可能的小,但又不可能比a大。因为a、b、c都是正整数,所以最小的c只能是1,而b要比c大又尽可能小,只能是2;那么剩下的数字7只能是a了,此时的a达到更大。

(2)求a的最小值,则b和c就尽可能的大,但又不可能比a大,所以最接近b就比a小1时是b达到更大的时候,同理,c比a小2,比b小1。我们可以运用方程法,设a为x,则b为x-1,c为x-2。a+b+c=10=x+x-1+x-2,x≈4.3,取4为a,此时b=3,c=2,还剩1,只能放到a,则a最小为5。同样的,用盈亏的思想也可以解答此题。

其他应用例题,若题目没有表明各个数各不相同,那么也就说明这些数是可以相同的。要根据具体情况具体分析。更多的应用例题可以参考一些备考书籍。

3、最不利原则

最不利原则只要掌握一些临界的方法,其实一点儿都不难。此类题型一般的问法是:至少……才能保证……;当然也有其他和一样的普通问法,比如问最少有多少,最多有多少等。

解决最不利原则题目的方法,就是将题目中所提到的条件尽可能的接近,即到达一个临界,差一丁点儿就能满足。比如经典例题:

一副完整的扑克牌有54张,问至少抽多少张才能保证抽出的扑克牌有3张花色是相同的?

解:扑克牌除了大小王各1张外,一共有4种花色,我们把大小王抽出来,其余四种花色各抽2张,这时无论如何都没办法达到3张同花色的要求,但已经达到了临界值,此时已经抽出了2+2*4=10张,只要再在任何一种花色抽出1张扑克牌,就可以达到要求。

很多最不利原则的题,都是如此先达到一个临界值,即要达到要求又未达到的情况,到了更大的极限,这个时候再任意多拿一丁点儿就可以满足要求了。

极限的几个常用题型和方法我们已简单认识完毕,总体上对比行程问题、排列组合等题型会容易一些。只要我们多加练习,很快我们就能做到只要看到一道题,潜意识就知道该往那方向去思考作答。

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(责任编辑:张龙)

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